關(guān)于自聚焦光纖模式色散的幾何光學(xué)處理，是筆者的一項(xiàng)教學(xué)成果。由于本文的目的是給出一個(gè)完整的教學(xué)處理方案，因此這里還是要給出文獻(xiàn)的主要分析與結(jié)論。手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)

     公式指出，自聚焦光纖具有拋物線型的折射率分布，中心的折射率高，折射率沿著半徑逐漸減少。因此進(jìn)入自聚焦光纖的光線趨向于向軸線彎曲，即光線圍繞著軸線擺動(dòng)。由于對(duì)稱性，我們只討論子午面內(nèi)光線的軌跡，在子午面z-x平面內(nèi)，折射率可以表示成

    其中α2=2Δ/a2。

    將上式代入光線方程，并考慮傍軸光線近似，得

    將自聚焦光纖內(nèi)的傍軸光線再分成近軸光線和遠(yuǎn)軸光線。所謂近軸光線就是擺動(dòng)的光線離軸線不遠(yuǎn)，即α2x2?1，可以有近似則式可以近似成

    顯然，公式是一個(gè)典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，其通解為

    其中C和φ是積分常數(shù)，分別代表光線擺動(dòng)的幅度和相位。式(11)表明，近軸光線是周期性圍繞光軸正弦擺動(dòng)的，α是擺動(dòng)的空間頻率?？梢钥闯鏊薪S光線具有相同的空間周期2π/α，即近軸光線是周期性聚焦的，如圖5所示。根據(jù)費(fèi)馬原理，從軸線A點(diǎn)發(fā)出的所有近軸光線都將聚焦于B點(diǎn)，A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的近軸光線是等光程的，不會(huì)引起時(shí)間差。換句話說(shuō)，只考慮近軸光線，無(wú)法計(jì)算出模式色散，模式色散來(lái)源于遠(yuǎn)軸光線，這就是筆者將自聚焦光纖的傍軸光線分成近軸光線和遠(yuǎn)軸光線的原因。手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)

    圖5 自聚焦光纖中的近軸光線與遠(yuǎn)軸光線

可以預(yù)言，由于自聚焦光纖光線的這種聚焦特性，模式色散只來(lái)源于遠(yuǎn)軸光線，相較于階躍折射率多模光纖光線根本沒(méi)有聚焦特性，自聚焦光纖的模式色散顯然比起階躍折射率多模光纖要小很多，這在隨后的討論中將被證實(shí)。手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)

在討論遠(yuǎn)軸光線時(shí)，利用泰勒展開(kāi)，保留到αx的二階項(xiàng)，公式(9)變成

    下面我們用微擾方法討論式(12)?？紤]遠(yuǎn)軸光線仍具有正弦擺動(dòng)特性，但是空間頻率有所不同

    將式(13)代入式(12)，得到

    其中遠(yuǎn)軸光線的空間周期變成2π/σ，不是常數(shù)。因此在計(jì)及遠(yuǎn)軸光線后，各光線不再可以周期性聚焦，存在著時(shí)間差。從式(14)可見(jiàn)，遠(yuǎn)軸光線的空間頻率與近軸光線有差別，隨著擺動(dòng)幅度C的不同而不同。最遠(yuǎn)的遠(yuǎn)軸光線幅度為a，則遠(yuǎn)軸光線的最大空間頻率滿足手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)

    或者

    可見(jiàn)，由于αa?1，遠(yuǎn)軸光線的空間頻率和近軸光線的空間頻率還是十分接近的與α2a2相差α4a4，這是一個(gè)非常小的量。當(dāng)忽略α4a4時(shí)，遠(yuǎn)軸光線還原為近軸光線，模式色散將無(wú)法計(jì)算?；蛘哒f(shuō)在計(jì)算光程差(或者時(shí)延差)時(shí)近似展開(kāi)至少要保留到α4a4項(xiàng)。

令最大模式的對(duì)應(yīng)光線軌跡函數(shù)為手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)

    x=asinσmaxz

    計(jì)算最大模式傳輸L距離后的光程

    將上式被積函數(shù)做泰勒展開(kāi)，保留到α4a4項(xiàng)，則式(18)變?yōu)?/span>

    式(19)的后一積分項(xiàng)在積分跨越2π/σmax點(diǎn)時(shí)為零，則

    由光程差與時(shí)間差的關(guān)系，自聚焦光纖的模式色散為

    這個(gè)結(jié)果與WKBJ近似法計(jì)算的結(jié)果完全一致[1,2]。將n1=1.500和n2=1.489代入式(21)，得Δτmax=0.25ns/km，比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。

    總結(jié)一下第1節(jié)的主要結(jié)論：(1)近軸光線近似與費(fèi)馬原理預(yù)計(jì)的等光程性等價(jià)，不能用近軸近似結(jié)果來(lái)計(jì)算自聚焦光纖的模式色散； (2)自聚焦光纖的模式色散來(lái)源于遠(yuǎn)軸光線，利用遠(yuǎn)軸近似可以得出自聚焦光纖模式色散的正確結(jié)果； (3)由于聚焦特性的不同，自聚焦光纖的模式色散比階躍折射率多模光纖小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。手動(dòng)光纖模具焊接機(jī)